Question

如图 1，二次函数的图像过点 A （3，0），B （0，4）两点，动点 P 从 A 出发，在线段 AB 上沿 A → B 的方向以每秒 2 个单位长度的速度运动，过点P作 PD⊥y 于点 D ，交抛物线于点 C ．设运动时间为 t （秒）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接 BC ，当t＝时，求△BCP的面积；

（3）如图 2，动点 P 从 A 出发时，动点 Q 同时从 O 出发，在线段 OA 上沿 O→A 的方向以 1个单位长度的速度运动，当点 P 与 B 重合时，P 、 Q 两点同时停止运动，连接 DQ 、 PQ ，将△DPQ沿直线 PC 折叠到 △DPE  ．在运动过程中，设 △DPE 和 △OAB重合部分的面积为 S ，直接写出 S 与 t 的函数关系式及 t 的取值范围．

Answer

（1）；（2）4；（3）．

【解析】

试题分析：（1）直接将A、B两点的坐标代入列方程组解出即可；

（2）如图1，要想求△BCP的面积，必须求对应的底和高，即PC和BD；先求OD，再求BD，PC是利用点P和点C的横坐标求出，要注意符号；

（3）分两种情况讨论：①△DPE完全在△OAB中时，即当时，如图2所示，重合部分的面积为S就是△DPE的面积；②△DPE有一部分在△OAB中时，当时，如图4所示，△PDN就是重合部分的面积S．

试题解析：（1）把A（3，0），B（0，4）代入中得：

，解得：，∴解析式为：；

（2）如图1，当时，AP=2t，∵PC∥x轴，∴，∴，∴OD===，当y=时，=，，解得：，，∴C（﹣1，），由，得，则PD=2，∴S△BCP=×PC×BD==4；

（3）分两种情况讨论：①如图3，当点E在AB上时，由（2）得OD=QM=ME=，∴EQ=，由折叠得：EQ⊥PD，则EQ∥y轴，∴，∴，∴t=，同理得：PD=，∴当时，S=S△PDQ=×PD×MQ=，；

②当时，如图4，P′D′=，点Q与点E关于直线P′C′对称，则Q（t，0）、E（t，），∵AB的解析式为：，D′E的解析式为：，则交点N（，），∴S=S△P′D′N=×P′D′×FN=，∴．

综上所述：．

考点：二次函数综合题；动点型；分段函数；分类讨论；压轴题．