Question

如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC＝80，BD＝60．动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿A→O→D和D→A运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．

(1)求菱形ABCD的周长；

(2)记△DMN的面积为S，求S关于t的解析式，并求S的最大值；

(3)当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO=∠DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）200；（2）480；（3）2，．

【解析】

试题分析：本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形、等腰三角形、中垂线、勾股定理、解直角三角形、二次函数极值等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．第（2）问中，动点M在线段AO和OD上运动时，是两种不同的情形，需要分类讨论；第（3）问中，满足条件的点有2个，注意不要漏解.

（1）根据勾股定理及菱形的性质，求出菱形的周长；

（2）在动点M、N运动过程中：①当0＜t≤40时，如答图1所示，②当40＜t≤50时，如答图2所示．分别求出S的关系式，然后利用二次函数的性质求出最大值；

（3）如答图4所示，作ON的垂直平分线，交EF于点I，连接OI，IN．过点N作NG⊥OD，NH⊥EF，垂足分别为G，H．易得△DNG∽△DAO，由EF垂直平分OD，得到OE=ED=15，EG=NH=3，再设OI=R，EI=x，根据勾股定理，在Rt△OEI和Rt△NIH中，得到关于R和x的 方程组，解得R和x的值，把二者相加就是点P到OD的距离，即PE=PI＋IE=R+x，又根据对称性可得，在BD下方还存在一个点P′也满足条件，故存在两个点P，到OD的距离也相同，从而问题解决．

试题解析：（1）如图①)在菱形ABCD中，OA=AC=40， OD=BD=30，

∵AC⊥BD，

∴AD==50，

∴菱形ABCD的周长为200；

（2）(如图②)过点M作MH⊥AD于点H．

① (如图②甲)①当0＜t≤40时，

∵sin∠OAD===，

∴MH=t，

∴S=DN·MH=t2．

②(如图②乙)当40＜t≤50时，

∴MD=80-t，

∵sin∠ADO=-，

∴MH=(70-t)，

∴S=DN·MH,

=-t2＋28t

＝-(t-35)2＋490．

∴S=，

当0＜t≤40时，S随t的增大而增大，当t=40时，最大值为480．

当40＜t≤50时，S随t的增大而增大，当t=40时，最大值为480．

综上所述，S的最大值为480；

(3)存在2个点P，使得∠DPO=∠DON．

(如图④)作ON的垂直平分线，交EF于点I，连接OI，IN．

过点N作NG⊥OD，NH⊥EF，垂足分别为G，H．

当t=30时，DN=OD=30，易知△DNG∽△DAO，

∴NG=24，DG=18．

∵EF垂直平分OD，

∴OE=ED=15，EG=NH=3，

设OI=R，EI=x，则

在Rt△OEI中，有R2=152＋x2……①，

在Rt△NIH中，有R2=32＋(24-x)2……②，

由①,②可得：,

∴PE=PI＋IE=．

根据对称性可得，在BD下方还存在一个点P′也满足条件，

∴存在两个点P，到OD的距离都是．

考点：相似性综合题.