Question

如图，△ABC中，∠ABC=90°.

（1）请在BC上找一点P，作⊙P与AC，AB都相切，切点为Q；（尺规作图，保留作图痕迹）

（2）若AB=3，BC=4，求第（1）题中所作圆的半径；

（3）连结BQ，第（2）中的条件均不变，求sin∠CBQ.

Answer

（1）作图见解析；（2）1.5；（3）.

【解析】

试题分析：本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质和三角函数的定义.（1）作∠BAC的平分线交BC于P点，然后以点P为圆心，PB为半径作圆即可；

（2）连结PQ，如图，先计算出AC=5，设半径为r，BP=PQ=r，PC=4-r，再证明Rt△CPQ∽Rt△CAB，则可利用相似比计算出r即可；

（3）先利用切线长定理得到AB=AQ，加上PB=PQ，则判定AP为BQ的垂直平分线，则利用等角的余角相等得到∠CBQ=∠BAP，然后在Rt△ABP中利用正弦定义求出sin∠BAP，从而可得到sin∠CBQ的值.

试题解析：（1）如图，

；

(2)连结PQ,设半径为r,BP=PQ=r,PC=4-r，

由∠ABC=90°,AB=3，BC=4,得AC=5，

(易证)△PQC∽△ABC，

=，即=，得r=1.5；

(3)由AB,AQ与⊙P相切,

AB=AQ

BP=PQ

AP为BQ的中垂线

，

易证△BHP∽△ABP，

∠CBQ=∠BAP，

sin∠CBQ=sin∠BAP=.

考点：1.作图—复杂作图；2.切线的性质；3.相似三角形的判定与性质.