Question

如图，已知Rt△AOB中,∠AOB=90º,AO=5,BO=3,点E、M是线段AB上的两个不同的动点(不与端点重合),分别过E、M作AO的垂线,垂足分别为K、L.

①△OEK面积S的最大值为           ；

②若以OE、OM为边构造平行四边形EOMF，当EM⊥OF时，OK+OL=           .

Answer

①，②.

【解析】

试题分析：本题综合考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质、一元二次方程、二次函数的知识，综合性很强，属于较难题，需要学生有综合运用知识的能力．

①根据条件证明△OBA∽△KEA，得到比例式，用含OK的式子表示KE，根据三角形的面积公式，列出关于OK的关系式即可；

②根据菱形的性质和勾股定理，利用一元二次方程根与系数的关系，求出答案．

①∵EK⊥OA，∠AOB=90°，

∴△OBA∽△KEA．

∴=，

∴＝，

∴KE=，

∴S=×OK•KE=，

设OK=x，则S==-，

∴当x=时，S有最大值，最大值为；

②【解析】
当EM⊥OF时，平行四边形EOMF为菱形，OE的取值范围为＜OE＜3，

设OK=a，OL=b，

由（1）得，KE=，ML=，

由OE=OM得a2+[]2=b2+[]2．

设y=x2+[]2=x2-x+9，

则当x1=a，x2=b时，函数y的值相等．

函数y的对称轴为直线x=，

即=，

解得a+b=，即OK+OL=．

故答案为，．

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.平行四边形的性质．