Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，连结CD，延长AC，BD，相交于点F.现给出下列结论：

①若AD=5，BD=2，则DE=；

②；

③∽；

④若直径AG⊥BD交BD于点H，AC=FC=4，DF=3，则cosF=；

则正确的结论是（    ）

A．①③       B.②③④      C.③④      D.①②④

Answer

C

【解析】

试题分析：此题主要考查圆的综合问题，熟悉圆的相关性质，会证明三角形相似并解决相关问题，能灵活运用垂径定理和三角函数是解题的关键．

①只需证明△BDE∽△ADB，运用对应线段成比例求解即可； ②连接CD，假设∠ACB=∠DCF，推出与题意不符即可判断； ③由公共角和同弧所对的圆周角相等即可判断； ④先证明△FCD∽△FBA，求出BD的长度，根据垂径定理求出DH，结合三角函数即可求解．

①如图1，∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∵∠CAD=∠CBD，

∴∠BAD=∠CBD，

∵∠BDE=∠BDE，

∴△BDE∽△ADB，

∴，

由AD=5，BD=2，可求DE=，

①不正确；

②如图2，

连接CD，

∠FCD+∠ACD=180°，∠ACD+∠ABD=180°，

∴∠FCD=∠ABD，

若∠ACB=∠DCF，因为∠ACB=∠ADB，

则有：∠ABD=∠ADB，与已知不符，

故②不正确；

③如图3，

∵∠F=∠F，∠FAD=∠FBC，

∴△FDA∽△FCB；

故③正确；

④如图4，连接CD，由②知：∠FCD=∠ABD，

又∵∠F=∠F，

∴△FCD∽△FBA，

∴，

由AC=FC=4，DF=3，可求：AF=8，FB=，

∴BD=BF-DF=，

∵直径AG⊥BD，

∴DH=，

∴FG=，

∴cosF==，

故④正确.

故选C．

考点：圆的综合题.