Question

设函数（k为常数），下列说法正确的是（  ）

A.对任意实数k，函数与x轴都没有交点

B.存在实数n，满足当时，函数y的值都随x的增大而减小

C.k取不同的值时，二次函数y的顶点始终在同一条直线上

D.对任意实数k，抛物线都必定经过唯一定点

Answer

D

【解析】

试题分析：本题考查了二次函数的性质，熟悉函数和函数方程的关系、函数的性质是解题的关键．

A、计算出△，根据△的值进行判断；

B、根据二次函数的性质即可判断；

C、得到抛物线的顶点，写成方程组，消去k得y=-x2-x-1，即可判断；

D、令k=1和k=0，得到方程组，求出所过点的坐标，再将坐标代入原式验证即可；

A、∵△=（2k）2-4（k-1）=4k2-4k+4=4（k-）2+3＞0，

∴抛物线的与x轴都有两个交点，故A错误；

B、∵a=1＞0，抛物线的对称轴x=-=-k，

∴在对称轴的左侧函数y的值都随x的增大而减小，

即当x＜k时，函数y的值都随x的增大而减小，

当n=-k时，当x≥n时，函数y的值都随x的增大而增大，故B错误；

C、∵y=x2+2kx+k-1=（x+k）2-k2+k-1，

∴抛物线的顶点为（-k，-k2+k-1），

∴，

消去k得，y=-x2-x-1，

即在二次函数y=-x2-x-1的图象上．故C错误；

D、令k=1和k=0，得到方程组：，解得，

将代入x2+2kx+k-1得，-k+k-1=-，与k值无关，不论k取何值，抛物线总是经过一个定点（-，-），故D正确．

故选D．

考点：二次函数的性质.