Question

已知抛物线y=ax²＋bx＋c经过A（－4，3）、B（2，0）两点，当x=5和x=－5时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C（0，－2）的直线l与x轴平行，O为坐标原点．

（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；

（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由；

（3）设直线AB上的点D的横坐标为-1，P（m，n）是抛物线y＝ax²＋bx＋c上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积．

Answer

（1）y=x2-1；（2）直线l与⊙A相切，理由见解析；（3）.

【解析】

试题分析：此题主要考查了二次函数解析式的确定、直线与圆的位置关系、图形面积的求法等知识，还涉及到解析几何中抛物线的相关知识，能力要求极高，难度很大.

（1）用待定系数法即可求出直线AB的解析式；根据“当x=3和x=-3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等”可知：抛物线的对称轴为y轴，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）根据A点坐标可求出半径OA的长，然后判断A到直线l的距离与半径OA的大小关系即可；

（3）根据直线AB的解析式可求出D点的坐标，即可得到OD的长，由于OD的长为定值，若△POD的周长最小，那么PD+OP的长最小，可过P作y轴的平行线，交直线l于M；首先证PO=PM，此时PD+OP=PD+PM，而PD+PM≥DM，因此PD+PM最小时.

试题解析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，则有：

，

解得；

∴直线AB的解析式为y=-x+1；

由题意知：抛物线的对称轴为y轴，则抛物线经过（-4，3），（2，0），（-2，0）三点；

设抛物线的解析式为：y=a（x-2）（x+2），

则有：3=a（-4-2）（-4+2），a=；

∴抛物线的解析式为：y=x2-1；

（2）易知：A（-4，3），则OA==5；

而A到直线l的距离为：3-（-2）=5；

所以⊙A的半径等于圆心A到直线l的距离，

即直线l与⊙A相切；

（3）过D点作DM∥y轴交直线于点M交抛物线于点P，

则P（m，n），M（m，-2）；

∴PO2=m2+n2，PM2=（n+2）2；

∵n=m2-1，即m2=4n+4；

∴PO2=n2+4n+4=（n+2）2，

即PO2=PM2，PO=PM；

易知D（-1，），则OD的长为定值；

若△PDO的周长最小，则PO+PD的值最小；

∵PO+PD=PD+PM≥DM，

∴PD+PO的最小值为DM，

即当D、P、M三点共线时PD+PM=PO+PD=DM；

此时点P的横坐标为-1，代入抛物线的解析式可得y=-1=-，

即P（-1，-）；

∴S四边形CPDO=（CO+PD）×|xD|=×（2++）×1=.

考点：二次函数综合题.