Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）两点，直线y=x-2与x轴交于点D,与y轴交于点C．点P是x轴下方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.

（1）求抛物线的解析式：

（2）若PE=3EF，求m的值；

（3）连接PC，是否存在点P，使△PCE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出相应的点P的横坐标m的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）y=x2-2x-3；（2）m=1或m=；（3）m=1±，或或.

【解析】

试题分析：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，难点在于（3）判断出直线CD与y轴的夹角为45°并分情况讨论.

（1）将点A、B的坐标代入抛物线求出a、b，即可得解；

（2）根据抛物线解析式与直线解析式表示出点P、E的坐标，然后表示出PE、EF，再列出绝对值方程，然后求解即可；

（3）根据直线解析式求出直线CD与y轴的夹角为45°，然后分①∠PCE=90°时表示出PC的解析式，再与抛物线解析式联立求解即可；②∠CPE=90°时，PC∥x轴，点P与点C的纵坐标相等，然后根据抛物线解析式求解即可.

试题解析：（1）把A（-1，0）、B（3，0），两点的坐标代入y=ax2+bx-3得：，

解得：，

所以，这条抛物线的解析这式为：y=x2-2x-3；

（2）设点P的横坐标是m，则P（m，m2-2m-3），E（m，m-2），F（m，0），

PE=|yE-yP|=|（m-2）-（m2-2m-3）|=|-m2+3m+1|，

EF=|-m+2|，

由题意PE=3EF，即：|-m2+3m+1|=3|-m+2|，

①若-m2+3m+1=3（-m+2），整理得：m

②若-m2+3m+1=-3（-m+2），整理得：m2-7=0，

解得：m=7或m=-7，

∵P在x轴下方，

∴-1＜m＜3，m=-7不合题意应舍去，

∴m=7，

综上所述，m=1或m=7；

（3）存在点P的横坐标为：m=1-或或．

理由如下：直线y=x-2与y轴的夹角为45°，

①PCE=90°时，直线PC的解析式为y=-x-2，

联立，

消掉y得，x2-x-1=0，

解得x=或，

所以，点P的横坐标m=或；

②∠CPE=90°时，PC∥x轴，

∵点C（0，-2），

∴点P与点C的纵坐标相等，为-2，

∴x2-2x-3=-2，

解得x=1±，

∵点P是x轴下方的抛物线上一动点，

∴-1＜x＜3，

∴点P的横坐标m=1±，

综上所述，点P的横坐标m=1±或或.

考点：二次函数综合题.