Question

如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，若BG=，则△CEF的面积是（     ）

A.   B.   C.   D.

Answer

A

【解析】

试题分析：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中.首先，由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得内错角∠DAE=∠BEA，等量代换后可证得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的长；然后，证明△ABE∽△FCE，再分别求出△ABE的面积，然后根据面积比等于相似比的平方即可得到答案.

∵AE平分∠BAD，

∴∠DAE=∠BAE；

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，

∴AB=BE=6，

∵BG⊥AE，垂足为G，

∴AE=2AG．

在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6，BG=42，

∴AG==2，

∴AE=2AG=4；

∴S△ABE=AE•BG=×4×42=82．

∵BE=6，BC=AD=9，

∴CE=BC-BE=9-6=3，

∴BE：CE=6：3=2：1．

∵AB∥FC，

∴△ABE∽△FCE，

∴S△ABE：S△CEF=（BE：CE）2=4：1，

则S△CEF=S△ABE=22．

故选A.

考点：1.平行四边形的性质；2.相似三角形的判定与性质；3.勾股定理.