Question

如图，等边△ABC的边长为2cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点C移动（到达点C后停止运动），同时点Q从点A出发，以1cm/s的速度沿AB﹣BC的方向向点C移动（到达点C后停止），若△APQ的面积为S（cm²），则下列最能反映S（cm²）与移动时间t（s）之间函数关系的大致图象是图2（     ）

A.   B.   C.   D.

Answer

C

【解析】

试题分析：本题主要考查二次函数的应用，一次函数的应用，借助二次函数和一次函数解决实际问题，难度较大，关键是分类列出面积S与t之间的函数关系式，根据函数的关系式判断函数的图像.此题还考查了等边三角形的性质，特殊角的三角函数值，勾股定理等知识点，利用了分类讨论及方程的思想，由三角形ABC为等边三角形，得到∠A=∠C=60°，在三角形APQ中，利用特殊角的三角函数值，勾股定理及三角形的面积公式列出关于S和t的函数，根据函数关系式判断其图像即可.

（1）如图1,当0≤t≤2时，作QH垂直于AP于点H，即QH为△APQ的高，底为AP,

∵三角形ABC为等边三角形，

∴∠A=60°，

∴AP=AQ=t,AH=AQ=t，

∴QH==t，

∴S=AP·QH=t2；

（2）如图2,当2＜t≤4时，作QH垂直于AP于点H，即QH为△APQ的高，底为AP=AC,

∵等边△ABC的边长为2cm，

∴∠C=60°，

∴AP=AC=2,

∵BQ=t-2，

∴CQ=BC-BQ=2-（t-2）=4-t，

∴CH=CQ=（4-t），

∴QH==（4-t），

∴S=AC·QH=-t+2.

综上，关于S和t的函数图像应是C.

故选C.

考点：1.二次函数和一次函数的图像；2.等边三角形的性质；3.三角形的面积.