Question

在平面几何的学习过程中，我们经常会研究角和线之间的关系．

（1）如图①，直线a、b被直线c所截，交点分别为A、B．当∠1、∠2满足数量关系      时，a∥b；

（2）如图②，在（1）中，作射线BC，与直线a的交点为C，当∠3、∠4满足何种数量关系时，AB=AC？证明你的结论；

（3）如图③，在（2）中，若∠BAC=90°，AB=2，⊙I为△ABC的内切圆．

①求⊙I的半径；

②P为直线a上一点，若⊙I上存在两个点M、N，使∠MPN=60°，直接写出AP长度的取值范围．

Answer

（1）∠1+∠2=180°；（2）当∠3=∠4时，AB=AC；

（3）①；

②当点P在射线AC上时，0≤AP≤，

当点P在射线AC的反向延长线上时，0≤AP≤

【解析】

试题分析：（1）根据平行线的性质和邻补角的定义即可得到结论；

（2）根据平行线的性质得到∠ACB=∠4，等量代换得到∠ACB=∠3，由等腰三角形的判定即可得到结论；

（3）①由（2）得AB=AC，推出△ABC是等腰直角三角形．根据勾股定理得到，由⊙I为△ABC的内切圆，得到四边形ADIF是正方形．根据切线长定理得到r=AD=，于是得到结论；

②当点P在射线AC上时，得到0≤AP≤，当点P在射线AC的反向延长线上时，得到0≤AP≤．

试题解析：（1）∠1+∠2=180°，

故答案为：∠1+∠2=180°；

（2）当∠3=∠4时，AB=AC，

证明：∵a∥b，

∴∠ACB=∠4，

又∵∠3=∠4，

∴∠ACB=∠3，

∴AB=AC；

（3）①由（2）得AB=AC，

又∵∠BAC=90°，

∴△ABC是等腰直角三角形．

∵AB=2，

∴AC=2．

∴在Rt△ABC中，．

设D、E、F分别为边AB、BC、AC上的切点，

连接ID、IE、IF，

∵⊙I为△ABC的内切圆，

∴ID⊥AB、IE⊥BC、IF⊥AC．

∴AD=AF，BD=BE，CE=CF．

∵∠BAC=90°，

∴四边形ADIF是矩形．

∵ID=IF，

∴矩形ADIF是正方形．

∴r=AD=．

∴⊙I的半径为；

②当点P在射线AC上时，0≤AP≤，

当点P在射线AC的反向延长线上时，0≤AP≤．

考点：切线的判定和性质；平行线的判定和性质；勾股定理；正方形的判定和性质；内切圆的性质；等腰三角形的判定