Question

如图，在正方形ABCD中，E是边CD的中点．

（1）用直尺和圆规作⊙O，使⊙O经过点A、B、E（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）若正方形ABCD的边长为2，求（1）中所作⊙O的半径．

Answer

（1）图见解析；（2）⊙O的半径是

【解析】

试题分析：（1）连接AE，分别作出AE，AB的垂直平分线，进而得到交点，即为圆心，求出答案；

（2）根据题意首先得出四边形AFE′D是矩形，进而利用勾股定理得出答案．

试题解析：（1）如图1所示：

⊙O即为所求．

（2）如图2，在（1）中设AB的垂直平分线交AB于点F，交CD于点E′．

则AF=AB=1，∠AFE′=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠FAD=∠D=90°，

∴四边形AFE′D是矩形，

∴E′F=AD=2，DE′=AF=1，

∴点E′与点E重合，

连接OA，设⊙O的半径为r，

可得OA=OE=r，

∴OF=EF﹣OE=2﹣r，

∴在Rt△AOF中，AO2=AF2+OF2，

∴r2=12+（2﹣r）2，

∴解得：r=，

∴⊙O的半径为．

考点：矩形的判定与性质；圆的性质；勾股定理