Question

如图，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC的外心，连接AD、CD．将△ADC绕点A顺时针旋转到△AEB，连接ED．

（1）求证：△AED∽△ABC；

（2）连接BD，判断四边形AEBD的形状并证明．

Answer

（1）△AED∽△ABC；

（2）四边形AEBD是菱形.

【解析】

试题分析：（1）由旋转性质可得∠DAE=∠CAB、AE=AD，结合AB=AC根据且∠DAE=∠CAB可证得；

（2）由三角形外心可得DB=DA=DC，结合△ADC≌△AEB知DB=DA=BE=AE，即可判定四边形AEBD的形状．

试题解析：（1）∵△ADC 绕点A顺时针旋转得到△AEB，

∴△ADC≌△AEB．

∴∠BAE=∠CAD，AE=AD．

∴∠DAE=∠CAB．

∵AB=AC，

∴．

∴△AED∽△ABC．

（2）四边形AEBD是菱形．

∵D是△ABC的外心，

∴DB=DA=DC．

又∵△ADC≌△AEB，

∴AE=AD，BE=DC．

∴DB=DA=BE=AE．

∴四边形AEBD是菱形．

考点：相似三角形的判定与性质；三角形的外形；全等三角形；菱形的判定