Question

在平面直角坐标系中，点O为原点，平行于x轴的直线与抛物线L：y=ax2相交于A,B两点（点B在第一象限），点D在AB的延长线上．

（1）已知a=1，点B的纵坐标为2．

①如图1，向右平移抛物线L使该抛物线过点B,与AB的延长线交于点C,求AC的长．

②如图2，若BD=AB，过点B,D的抛物线L₂，其顶点M在x轴上，求该抛物线的函数表达式．

（2）如图3，若BD=AB，过O,B,D三点的抛物线L₃，顶点为P,对应函数的二次项系数为a₃，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于E,F两点, 求的值，并直接写出的值．

Answer

（1）①4，②

【解析】

试题分析：（1）①令y=2代入y=x2，可求得A、B坐标，进而可求得AB长度，而AC=2AB，AC长度可求．②根据抛物线对称性可求得M坐标，利用顶点式设L2的解析式，再把B点坐标带入即可求得解析式；（2）过点B作BK⊥x轴于点K．设OK=t，则可利用t表示出G点坐标，L3解析式可表示出来，有因为L3经过点B代入化简就可求得的值，再利用L3解析式表示出顶点P的纵坐标，再代到L中可求得EF长度，比值即可求出．

试题解析：（1）①对于二次函数y=x2，当y＝2时，2＝x2，解得x1＝，x2＝－，∴AB＝2． ∵平移得到的抛物线L1经过点B，∴BC＝AB＝2，∴AC＝4．② 记抛物线L2的对称轴与AD相交于点N,根据抛物线的轴对称性，得BN=DB=, ∴．设抛物线L2的函数表达式为．由①得，B点的坐标为（，2）,∴，解得a=4．抛物线L2的函数表达式为．

（2）如图，抛物线L3与x轴交于点G,其对称轴与x轴交于点Q,过点B作BK⊥x轴于点K．设OK=t,则AB=BD=2t, 点B的坐标为(t，at2)，根据抛物线的轴对称性，得OQ=2t,OG=2OQ=4t．设抛物线L3的函数表达式为y=a3x（x-4t），∵该抛物线过点B(t，at2)，∴at2=a3t（t-4t），因t≠0，得．．

考点：二次函数综合题．