Question

如图，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝3，M 是边CD 上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．

（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；

（2）连接BN ，当DM＝1时，求△ABN的面积；

（3）当射线BN 交线段CD于点F时，求DF的最大值．

Answer

（1）DM=；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）由折叠可知：△ANM≌△ADM，∠MAN=∠DAM，由AN平分∠MAB，得到∠MAN=∠NAB，进一步有∠DAM=∠MAN=∠NAB．由四边形ABCD是矩形，得到∠DAM=30°，由DM=AD•tan∠DAM得到DM的长；

（2）如图1，延长MN交AB延长线于点Q，∵由四边形ABCD是矩形，得到∠DMA=∠MAQ．由折叠可知：△ANM≌△ADM，∠DMA=∠AMQ，得到∠MAQ=∠AMQ，故MQ=AQ．

设NQ=x，则AQ=MQ=1+x．在Rt△ANQ中，由，得到x=4．

故NQ=4，AQ=5，由==AN•NQ，即可得到结论；

（3）如图2，过点A作AH⊥BF于点H，则△ABH∽△BFC，故.由AH≤AN=3，AB=4，故当点N、H重合（即AH=AN）时，DF最大．此时M、F重合，B、N、M三点共线，△ABH≌△BFC（如图3），而CF=BH==，故课求出DF的最大值．

试题解析：（1）由折叠可知：△ANM≌△ADM，∴∠MAN=∠DAM，∵AN平分∠MAB，∴∠MAN=∠NAB，∴∠DAM=∠MAN=∠NAB．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAM=30°，∴DM=AD•tan∠DAM==；

（2）如图1，延长MN交AB延长线于点Q，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA=∠MAQ．由折叠可知：△ANM≌△ADM，∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，∴∠MAQ=∠AMQ，∴MQ=AQ．

设NQ=x，则AQ=MQ=1+x．在Rt△ANQ中，，∴，解得：x=4．

∴NQ=4，AQ=5，∵AB=4，AQ=5，∴==AN•NQ=；

（3）如图2，过点A作AH⊥BF于点H，则△ABH∽△BFC，∴.∵AH≤AN=3，AB=4，∴当点N、H重合（即AH=AN）时，DF最大．（AH最大，BH最小，CF最小，DF最大）

此时M、F重合，B、N、M三点共线，△ABH≌△BFC（如图3），∴CF=BH===，∴DF的最大值为：．

考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；最值问题；综合题．