Question

如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（－3，0）B（－1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点；一次函数y＝kx－4k（k≠0）的图象过点P交x轴于点Q．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）当点P的坐标为（－4，m）时，求证：∠OPC＝∠AQC；

（3）点M、N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M、N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．

①连接AN，当△AMN的面积最大时，求t的值；

②线段PQ能否垂直平分线段MN？如果能，请求出此时直线PQ的函数关系式；如果不能请说明你的理由．

Answer

（1）y=+4x+3；（2）证明过程见解析；（3）①、t=；②、y=.

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据题意得出点P的坐标，从而得出PC∥x轴，根据一次函数的性质得出点Q的坐标和OQ的长度，从而得出四边形POQC为平行四边形，从而得出答案；（3）过点N作ND⊥x轴于点D，得到△QND∽△QCO，根据Rt△OCQ得出CQ的长度，根据相似得出ND的长度，然后得出S与t的函数关系式，求出最大值；假设PQ垂直平分线段MN，则QM＝NQ，根据Rt△MND∽Rt△EQM，得出段E的坐标，然后求出直线QE的函数解析式.

试题解析：（1）抛物线的解析式为：y＝＋4x＋3

（2）当x＝－4时，y＝3，∴P（－4，3）．

∵C（0，3），∴PC＝4且PC∥x轴．

∵一次函数y＝kx－4k（k≠0）的图象交x轴于点Q，当y＝0时，x＝4，

∴Q（4，0），即OQ＝4．∴PC＝OQ，

又∵PC∥x轴， ∴四边形POQC是平行四边形

∴∠OPC＝∠AQC．

（3）①、过点N作ND⊥x轴于点D，则ND∥y轴. ∴△QND∽△QCO∴，

在Rt△OCQ中，CQ＝=5，

∴，

∴ND＝（5－t）

∴S△AMN＝AM·ND＝·3t·（5－t）＝－

∵0≤x≤

∴当t＝时，△AMN的面积最大

②、能.假设PQ垂直平分线段MN，则QM＝NQ，

∴7－3t＝5－t， ∴t＝1.此时AM＝3， 即点M与点O重合， QM＝NQ＝4.

如图，设PQ交y轴于点E

∵∠MND＝90°－∠NMD＝∠MQE，

∴Rt△MND∽Rt△EQM，

∴

∵ND＝，DQ＝，

∴MD＝，

∴MD＝.

∴E（0，），

∵Q（4，0），

∴直线QE为y=. 即直线PQ为y=

考点：（1）二次函数的性质；（2）三角形相似的应用.