Question

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE．

（1）求证：AB⊥AE．

（2）若点D为AB中点，求证：四边形ADCE是正方形．

Answer

（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据∠ACB=∠DCE=90°可得∠BCD=∠ACE，从而得出△CBD和△CAE全等得出∠B=∠CAE，根据∠B+∠BAC=90°得出∠BAC+∠EAC=90°，即垂直；（2）根据D为中点得出∠ADC=90°，结合∠DCE=∠BAE=90°得出矩形，然后根据CD=CE得出正方形.

试题解析：（1）∵∠ACB＝90°∴∠BCD＋∠ACD＝90°

∵∠DCE＝90°∴∠ACD＋∠ACE＝90°

∴∠BCD＝∠ACE

在△CBD与△CAE中，∵CB＝CA， ∠BCD＝∠ACE，CD＝CE，∴△CBD≌△CAE，

∴∠B＝∠CAE，

∵∠B＋∠BAC＝90°

∴∠BAC＋∠EAC＝90°

∴AB⊥AE

（2）∵点D为AB中点，∴∠ADC＝90°

∵∠DCE＝90°， ∠BAE＝90°

∴四边形ADCE是矩形，

∴CD＝CE，

∴四边形ADCE是正方形

考点：（1）旋转的性质；（2）正方形的判定.