Question

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，＝，DE⊥BC，垂足为E．

（1）求证：CD平分∠ACE；

（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；

（3）若CE=1，AC＝4，求阴影部分的面积．

Answer

（1）、证明过程见解析；（2）、相切，理由见解析；（3）、

【解析】

试题分析：（1）、根据内角四边形得出∠BAD＋∠BCD＝180°，根据∠BCD＋∠DCE＝180°得到∠DCE＝∠BAD，根据弧相等得到∠BAD＝∠ACD，则∠DCE＝∠ACD，得到平分；（2）、连接OD，根据OC=OD，得出∠ODC=∠OCD，根据∠DCE=∠ACD得到∠DCE=∠ODC，即OD∥BE，根据DE⊥BC得到OD⊥DE，得到切线；（3）、根据直径得出∠ADC=∠E=90°，根据∠DCE=∠ACD得到△DCE∽△ACD，求出CD的长度，根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去△OCD的面积得出答案.

试题解析：（1）、∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，

∴∠BAD＋∠BCD＝180°，

∵∠BCD＋∠DCE＝180°，

∴∠DCE＝∠BAD，

∵＝，

∴∠BAD＝∠ACD，

∴∠DCE＝∠ACD，

∴CD平分∠ACE．

（2）、ED与⊙O相切．

理由：连接OD，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD，

∵∠DCE＝∠ACD，∴∠DCE＝∠ODC，∴OD∥BE，

∵DE⊥BC，∴OD⊥DE，∴ED与⊙O相切．

（3）、∵AC为直径，∴∠ADC＝90°=∠E，∵∠DCE＝∠ACD，∴△DCE∽△ACD，

∴=，即=，∴CD=2，

∵OC＝OD＝CD=2，∴∠ DOC＝60°，

∴S阴影＝S扇形－S△OCD＝π－．

考点：（1）、圆的基本性质；（2）、三角形相似.