Question

如图，是⊙的直径，是⊙上一点，是的中点，过点D作⊙O的切线，与AB，AC的延长线分别交于点E，F，连结AD．

（1）求证：AF⊥EF；

（2）若，AB=5，求线段BE的长．

Answer

（1）、证明过程见解析；（2）、

【解析】

试题分析：（1）、连接OD根据切线得出OD⊥EF，根据OA=OD得出∠1=∠3，根据弧的中点得出∠1=∠2，则∠2=∠3，说明OD∥AF，得到切线；（2）、连接BD，根据tan∠CAD的值得出tan∠1的值，根据Rt△ADB得出BD和AD的长度，根据平行得出△EDO与△EFA相似，设BE=x，根据相似比得出x的值.

试题解析：（1）、连结OD． ∵直线EF与⊙O相切于点D，

∴OD⊥EF．

∵OA = OD，

∴∠1=∠3．

∵点为的中点，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴OD∥AF，

∴AF⊥EF．

（2）、连结BD．

∵，

∴

在Rt△ADB中，AB=5，

∴BD=，AD=，

在Rt△AFD中，可得DF=2，AF=4，

∵OD∥AF，∴△EDO∽△EFA，

∴，

又∵OD=2.5，设BE=x，

∴，

∴，即BE=．

考点：（1）、圆的基本性质；（2）、三角形相似.