Question

如图，点P在正方形ABCD内，△PBC是正三角形，AC与PB相交于点E．有以下结论：

①∠ACP＝15°；②△APE是等腰三角形；③AE²＝PE·AB；④△APC的面积为S₁，正方形ABCD的面积为S₂，则S₁：S₂＝1：4．其中正确的是           （把正确的序号填在横线上）．

Answer

①②③

【解析】

试题分析：∵△PBC是等边三角形，∴∠PCB=60°，PC=BC，∠PCB=60°，∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=AB，∠ABC=90°， ∴∠ACB=45°， ∴∠ACP=60°﹣45°=15°，∴①正确；

∵∠ABC=90°，∠PBC=60°， ∴∠ABP=90°﹣60°=30°， ∵BC=PB，BC=AB， ∴PB=AB，

∴∠BPA=∠PAB=（180°﹣30°）=75°， ∵∠ABP=30°，∠BAC=45°， ∴∠AEP=45°+30°=75°=∠BPA，

∴AP=AE， ∴△APE为等腰三角形，∴②正确；

∵∠APB=∠APB，∠AEP=∠PAB=75°， ∴△PAE∽△ABP， ∴， ∴=PE·AB，

∴=PEAB；∴③正确；

连接PD，过D作DG⊥PC于G，过P作PF⊥AD于F，

设正方形的边长为2a，则S2=4，等边三角形PBC的边长为2a，高为a，

∴PF=2a﹣a=（2﹣）a， ∴S△APD=SADPF=（2﹣），

∴∠PCD=90°﹣60°=30°， ∴GD=CD=a，∴S△PCD=PCDG=，S△ACD=2，

∴S1=S△ACD﹣S△ADP﹣S△PCD=2﹣﹣（2﹣）=（﹣1）＜，

∴S1：S2≠1：4． ∴④错误；

考点：（1）、正方形的性质；（2）、三角形相似的应用；（3）、等腰三角形的判定.