Question

如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H，连接BM．

（1）求直线AC的解析式；

（2）动点P从点A出发，沿折线ABC的方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；

（3）动点P从点A出发，沿线段AB方向以2个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当∠MPB与∠BCO互为余角时，试确定t的值．

Answer

（1）直线AC的解析式为y=﹣x+．

（2）S=﹣t+（0≤t＜）．S=t﹣（＜t≤5）；

（3）t=．

【解析】

试题分析：（1）过点A作AE⊥x轴，垂足为E，根据勾股定理求出OA的长，根据菱形的性质可得出C点坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式即可；

（2）先求出OM的长，再分点P在AB边上运动与点P在BC边上运动两种情况进行分类讨论；

（3）先根据菱形的性质及三角形内角和定理得出∠MPB=∠ABM，再根据等腰三角形的性质即可得出结论．

【解析】
（1）如图1，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．

∵A（﹣3，4），

∴AE=4，OE=3，

∴OA==5．

∵四边形ABCO是菱形，

∴OC=CB=BA=OA=5，

∴C（5，0）．设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（﹣3，4），C（5，0）代入得：，

解得，

∴直线AC的解析式为y=﹣x+．

（2）由（1）得点M的坐标为（0，），

∴OM=．

如图1，当点P在AB边上运动时．

由题意得OH=4，

∴HM=．

∴S=BP•MH=（5﹣2t）×

∴S=﹣t+（0≤t＜）．

如图2，当点P在BC边上运动时．

∵∠OCM=∠BCM，OC=BC，MC=MC．

∴△MOC≌△MBC．

∴BM=OM=，∠MBC=∠MOC=90°．

∴S=BP•BM=（2t﹣5）×

∴S=t﹣（＜t≤5）；

（3）∵∠AOC=∠ABC，∠MOC=∠MBC，

∴∠AOM=∠ABM．

∵∠MPB+∠BCO=90°，∠BAO=∠BCO，∠BAO+∠AOM=90°．

∴∠MPB=∠AOM，

∴∠MPB=∠ABM．

如图3，当点P在AB边上运动时．

∵∠MPB=∠ABM，

∴PM=BM．

∵MH⊥PB，

∴PH=HB=5﹣3=2，

∴PA=3﹣2=1．

∴t=．

考点：一次函数综合题．