Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=﹣x的图象l是第二、四象限的角平分线．

（1）实验与探究：由图观察易知A（﹣1，3）关于直线l的对称点A′的坐标为（﹣3，1），请你写出点B（5，3）关于直线l的对称点B′的坐标为      ；

（2）归纳与发现：结合图形，自己选点再试一试，通过观察点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（m，n）关于第二、四象限的角平分线l的对称点P′的坐标为      ；

（3）运用与拓广：

①已知两点C（6，0），D（2，4），试在直线l上确定一点P，使点P到C，D两点的距离之和最小，在图中画出点P的位置，保留作图痕迹，并求出点P的坐标．

②在①的条件下，试求出PC+PD的最小值．

Answer

（1）（﹣3，﹣5）；（2）（﹣n，﹣m）；（3）①画图见解析，P（1，﹣1）；②PC+PD=2．

【解析】

试题分析：（1）观察图形得出点B（5，3）关于直线l的对称点B′的坐标即可；

（2）归纳总结得到一般性规律，写出P（m，n）关于第二、四象限的角平分线l的对称点P′的坐标即可；

（3）①如图，作点C关于直线 l 的对称点C′，连接C′D，交l于点P，连接CP，由作图可知，PC=PC′，进而得到PC+PD=C′D，求出此时P坐标即可；②利用勾股定理求出PC+PD的最小值即可．

【解析】
（1）根据题意得：B′（﹣3，﹣5）；

（2）根据题意得：P′（﹣n，﹣m）；

故答案为：（1）（﹣3，﹣5）；（2）（﹣n，﹣m）；

（3）①如图，作点C关于直线 l 的对称点C′，连接C′D，交l于点P，连接CP，

由作图可知，PC=PC′，

∴PC+PD=PC′+PD=C′D，

∴点P为所求，

∵C（6，0），

∴C′（0，﹣6）．

设直线C′D的解析式为y=kx﹣6，

∵D（2，4），

∴k=5，

∴直线C′D的解析式为y=5x﹣6，

由 得，

∴P（1，﹣1）；

②PC+PD==2．

考点：一次函数综合题．