Question

如图，直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（﹣3，0），点A的坐标为（﹣2.5，0）．

（1）求k的值；

（2）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）探究：当点P运动到什么位置（求点P的坐标）时，△OPA的面积为5，并说明理由．

Answer

（1）k的值为2；（2）△OPA的面积S与x的函数关系式为S=2.5x+7.5（﹣3＜x＜0）；（3）点P运动到（﹣1，4）或（﹣5，﹣4）时，△OPA的面积为5．

【解析】

试题分析：（1）由直线与x轴的交点的坐标，代入即可求出k的值；（2）过点P作x轴的垂线段，能够发现P点到x轴的距离为P点的纵坐标，代入直线方程用x表示出来P点的纵坐标，再套用三角形面积公式即可得出结论，再由点P在第二象限，即可确定x的取值范围；（3）分两种情况，一种P点在x轴上方，一种在x轴下方，分类讨论即可得出结论．

【解析】
（1）∵点E（﹣3，0）在直线y=kx+6的图象上，

∴有0=﹣3k+6，解得：k=2．

故k的值为2．

（2）过点P作PB⊥x轴，垂足为点B，如图1．

∵点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，

∴P点横坐标介于E、F的横坐标之间，

∴﹣3＜x＜0．

∵点P在直线y=2x+6上，

∴y=2x+6．

∵PB⊥x轴，且P点在第二象限，且点A的坐标为（﹣2.5，0），

∴PB=y=2x+6，OA=2.5．

∴△OPA的面积S=OA•PB=2.5x+7.5．

故△OPA的面积S与x的函数关系式为S=2.5x+7.5（﹣3＜x＜0）．

（3）∵令（2）中的关系式中x=0，解得S=7.5＞5，

∴若点P在x轴上方时，必在第二象限，点P在x轴下方时，必在第三象限．

①当点P在x轴上方时，有△OPA的面积S=2.5x+7.5，

令S=5，即2.5x+7.5，解得：x=﹣1．

此时点P的坐标为（﹣1，4）；

②当点P在x轴下方时，如图2，

此时PB=﹣y=﹣2x﹣6，

△OPA的面积S=OA•PB=×2.5×（﹣2x﹣6）=﹣2.5x﹣7.5=5，

解得：x=﹣5．

此时点P的坐标为（﹣5，﹣4）．

综上可知：点P运动到（﹣1，4）或（﹣5，﹣4）时，△OPA的面积为5．

考点：一次函数综合题．