Question

已知一次函数y=﹣x+2和y=2x﹣3的图象分别交y轴与A、B两点，两个一次函数的图象相交于点P．

（1）求△PAB的面积；

（2）求证：∠APB=90°；

（3）若在一次函数y=2x﹣3的图象上有一点N，且横坐标为x，连结NA，请直接写出△NAP的面积关于x的函数关系式，并写出相应x的取值范围．

Answer

（1）5；（2）证明见解析；（3）当x＞2时，△NAP的面积S=（x﹣2）；

当x＜2时，△NAP的面积S=（2﹣x）．

【解析】

试题分析：（1）首先解两个一次函数的解析式组成的方程组求得P的坐标，然后求得A和B的坐标，则AB的长即可求得，根据三角形的面积即可求得；

（2）利用勾股定理的逆定理求解；

（3）表示出PN的长，然后根据三角形的面积公式即可求解．

【解析】
（1）根据题意得：，

解得：，

则P的坐标是（2，1）．

在y=﹣x+2中令x=0，解得y=2，则A的坐标是（0，2），

在y=2x﹣3中令x=0，解得y=﹣3，则B的坐标是（0，﹣3），

则AB=5，

则S△PAB=×5×2=5；

（2）∵PA2=22+（2﹣1）2=5，

BP2=22+（1+3）2=20，

AB2=25，

∴PA2+BP2=AB2，

∴△PAB是直角三角形，∠APB=90°；

（3）N的横坐标是x，则纵坐标是（x，2x﹣3）．

则PN==|x﹣2|，

当x＞2时，PN=（x﹣2），

则△NAP的面积S=PA•PN=××（x﹣2）=（x﹣2）；

当x＜2时，PN=（2﹣x），

则△NAP的面积S=PA•PN=××（2﹣x）=（2﹣x）．

考点：一次函数综合题．