Question

如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．

（1）如图1，当E是线段AC的中点，且AB=2时，求△ABC的面积；

（2）如图2，当点E不是线段AC的中点时，求证：BE=EF；

（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点时，（2）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

Answer

（1）△ABC的面积=；（2）见解析；（3）成立，证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据菱形的性质证明△ABC是等边三角形和AB=2，求出△ABC的面积；

（2）作EG∥BC交AB于G，证明△BGE≌△ECF，得到BE=EF；

（3）作EH∥BC交AB的延长线于H，证明△BHE≌△ECF，得到BE=EF．

【解析】
（1）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，又E是线段AC的中点，

∴BE⊥AC，AE=AB=1，

∴BE=，

∴△ABC的面积=×AC×BE=；

（2）如图2，作EG∥BC交AB于G，

∵△ABC是等边三角形，

∴△AGE是等边三角形，

∴BG=CE，

∵EG∥BC，∠ABC=60°，

∴∠BGE=120°，

∵∠ACB=60°，

∴∠ECF=120°，

∴∠BGE=∠ECF，

在△BGE和△ECF中，

，

∴△BGE≌△ECF，

∴EB=EF；

（3）成立，

如图3，作EH∥BC交AB的延长线于H，

∵△ABC是等边三角形，

∴△AHE是等边三角形，

∴BH=CE，

在△BHE和△ECF中，

，

∴△BHE≌△ECF，

∴EB=EF．

考点：四边形综合题．