Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点A、C的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣3），直线x=1为抛物线的对称轴，点D为抛物线的顶点，直线BC与对称轴相交于点E．

（1）求抛物线的解析式并直接写出点D的坐标；

（2）求△BCD的面积；

（3）点P为直线x=1右方抛物线上的一点（点P不与点B重合），记A、B、C、P四点所构成的四边形面积为S，若S=S_△BCD，求点P的坐标．

Answer

（1）抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，抛物线的顶点D的坐标为（1，﹣4）；

（2）S△BCD=3；

（3）满足条件的P点坐标为（，）或（，）．

【解析】

试题分析：（1）利用抛物线的对称性确定B（3，0），则设交点式y=a（x+1）（x﹣3），然后将C（0，﹣3）代入求出a即可得到抛物线的解析式，再把解析式配成顶点式即可得D的坐标；

（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=x﹣3，则求出E（1，﹣2），然后根据三角形面积公式，利用S△BCD=S△CDE+S△BDE进行计算即可；

（3）设P点坐标为（t，t2﹣2t﹣3），讨论：当点P在x轴下方时，即1＜m＜3时，连结OP，如图1，根据三角形面积公式，利用S=S△AOC+S△POC+S△POB得到S=﹣t2+t+6，则利用S=S△BCD得到2﹣t2+t+6=×3，解方程得t1=，t2=（舍去），于是得到此时P点的坐标为（，）；当点P在轴的上方时，即m＞3，如图2，同样方法得到2t2﹣4t=×3，解方程得t1=，t2=（舍去），所以此时P点的坐标为（，）．

【解析】
（1）∵点A（﹣1，0）和点B关于直线x=1对称，

∴B（3，0），

设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

将C（0，﹣3）代入得﹣3=﹣3a，解得a=1，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，

∵y=（x﹣1）2+4，

∴抛物线的顶点D的坐标为（1，﹣4）；

（2）设直线BC的解析式为y=mx+n，

把C（0，﹣3），B（3，0）代入得，解得，

∴直线BC的解析式为y=x﹣3，

当x=1时，y=x﹣3=﹣2，则E（1，﹣2），

∴S△BCD=S△CDE+S△BDE=×（4﹣2）×1+×（4﹣2）×2=3；

（3）设P点坐标为（t，t2﹣2t﹣3），

当点P在x轴下方时，即1＜m＜3时，连结OP，如图1，

∵S=S△AOC+S△POC+S△POB=×1×3+×3×t+×3（﹣t2+2t+3）=﹣t2+t+6，

而S=S△BCD，

∴﹣t2+t+6=×3，

整理得t2﹣3t+1=0，解得t1=，t2=（舍去），此时P点的坐标为（，）；

当点P在轴的上方时，即m＞3，如图2，

∵S=S△ABC+S△PAB=×4×3+×4（t2﹣2t﹣3）=2t2﹣4t，

而S=S△BCD

∴2t2﹣4t=×3，

整理得4t2﹣8t﹣15=0，解得t1=，t2=（舍去），此时P点的坐标为（，），

综上所述，满足条件的P点坐标为（，）或（，）．

考点：二次函数综合题．