Question

已知：如图，直线PA交⊙O于A、E两点，PA的垂线DC切⊙O于点C，过A点作⊙O的直径AB．

（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）若DC=4，DA=2，求⊙O的直径．

Answer

（1）见解析；（2）⊙O的直径为10．

【解析】

试题分析：（1）由弦切角定理知，∠DCA=∠B，故Rt△ADC∽Rt△ACB，则有∠DAC=∠CAB；

（2）由勾股定理求得AC的值后，由（1）中Rt△ADC∽Rt△ACB得=，即可求得AB的值．

（1）证明：方法一：连接BC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

又∵DC切⊙O于C点，

∴∠DCA=∠B，

∵DC⊥PE，

∴Rt△ADC∽Rt△ACB，

∴∠DAC=∠CAB，即AC平分∠DAB；

方法二：连接CO，

因为DC与⊙O相切，

所以DC⊥CO，

又因为PA⊥CD，

所以CO∥PE，

所以∠ACO=∠CAO=∠CAD，即AC平分∠DAB

（2）【解析】
在Rt△ADC中，AD=2，DC=4，

∴AC==2，

由（1）得Rt△ADC∽Rt△ACB，

∴=，

即AB===10，

∴⊙O的直径为10．

考点：切线的性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．