Question

如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（－4，0），B（0，3）。

（1）求AB的长；

（2）过点B作BC⊥AB，交轴于点C，求点C的坐标；

（3）在（2）的条件下，如果P、Q分别是AB和AC上的动点，连结PQ，设AP=CQ=m，问是否存在这样的使得△APQ与△ABC相似，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。

Answer

（1）AB的长为5；（2）C的坐标为（2．25，0）；（3）存在，x的值为

或．

【解析】

试题分析：（1）根据点A、B的坐标分别为A（-4，0），B（0，3）可知OB=3，AO=4，利用勾股定理即可求出AB．

（2）根据BC⊥AB，BO⊥AC，利用射影定理即可求出OC，然后可知C点的坐标．

（3）假设△APQ与∽△ABC，利用其对应边成比例即可求出x的值．

试题解析：（1）∵点A、B的坐标分别为A（-4，0），B（0，3），

∴OB=3，AO=4，∴AB=；

（2）∵BC⊥AB，BO⊥AC，

∴BO2=AO•OC，即OC==2．25，

∴C点的坐标是（2．25，0）；

（3）

当△APQ与∽△ABC时，PQ∥BC，

∴，

∵AP=CQ=x，

∴，

解得x=．

当△APQ与∽△ACB时，，

即，解得：x=

答：（1）AB的长为5；（2）C的坐标为（2．25，0）；（3）存在，x的值为或．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．坐标与图形性质；3．勾股定理；4．射影定理．