Question

已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD为边AB上的中线，若E是射线CA上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点．G为EF的中点，连接CG并延长交直线AB于点H．

（1）如图①，若E在边AC上．试说明：①AE=CF； ②CG=GD；

（2）如图②，若E在边CA的延长线上．（1）中的两个结论是否仍成立？（直接写出成立结论的序号，不要说明理由）

（3）若AE=3，CH=5，求边AC的长．

Answer

(1)证明见解析；（2）①②还成立．（3）7或1．

【解析】

试题分析：（1）①通过全等三角形（△AED≌△CFD）的对应边相等证得AE=CF；

②根据Rt△ECF和Rt△EDF斜边上中线的性质来证明CG=GD；

（2）①②都成立．思路同（1）；

（3）求出EF的长是5，在Rt△ECF中，CF=3，根据勾股定理求出EC，即可求出AC．

试题解析：（1）①如图①．

∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠A=∠B=45°．

∵CD为边AB上的中线，

∴CD⊥AB，AD=CD=BD，

∴∠DCB=∠B=45°，

∴∠A=∠DCB，

即∠A=∠DCF．

∵DF⊥DE，

∴∠ADE+∠EDC=90°，∠CDF+∠EDC=90°，

∴∠ADE=∠CDF．

在△AED与△CFD中，

，

∴△AED≌△CFD（ASA），

∴AE=CF；

②∵在△ABC中，∠ACB=90°，G为EF的中点，

∴CG=EF．

∵DF⊥DE，G为EF的中点，

∴GD=EF．

∴CG=GD；

（2）①②还成立．

①AE=CF，证明如下：

如图②，∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠CAB=∠B=45°．

∵CD为边AB上的中线，

∴CD⊥AB，AD=CD=BD，∠ACD=∠BCD=45°，

∴∠EAD=∠180°-∠CAD=135°，∠FCD=180°-∠BCD=135°，

∴∠EAD=∠FCD．

∵DF⊥DE，

∴∠ADE+∠HDF=∠CDF+∠HDF=90°，

∴∠ADE=∠CDF．

在△AED与△CFD中，

，

∴△AED≌△CFD（ASA），

∴AE=CF；

②CG=GD．证明如下：

Rt△EFC中，点G是EF边的中点，则CG=EF．

在Rt△EFD中，点G是EF边的中点，则GD=EF．

则CG=GD；

（3）AC=7或1，理由是：

∵AC=BC，CD是AB边上的中线，

∴CD⊥AB，

∴∠CDA=90°，

∴∠CHD+∠DCH=90°，∠CDG+∠HDG=90°，

∵由（1）知DG=CG，

∴∠CDG=∠GCD，

∴∠GDH=∠GHD，

∴DG=GH，

∴CG=GH=CH=×5=2．5，

∵∠EDF=90°，G为EF中点，

∴DG=EF，

∴EF=5，

∵AE=3，

∴由（1）知AE=CF，

∴CF=3，

在Rt△ECF中，由勾股定理得：EC==4，

∴AC=AE+CE=3+4=7；

如图②，同理求出EF=5，CF=3，

在Rt△ECF中，根据勾股定理求出CE=4，

则AC=CE-AE=4-3=1，

综合上述：AC=7或1．

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．直角三角形斜边上的中线；3．等腰直角三角形．