Question

如图，在直角坐标系中，已知P（-2，-1），点T（t，0）是x轴上的一个动点．

（1）求点P关于原点的对称点M的坐标．

（2）已知点N（0，2）为y轴上的一点，求经过P、M、N三点的抛物线的解析式，并求出该抛物线的顶点坐标．

（3）点T在运动过程中，是否存在某个时刻使△MTO为等腰三角形？若存在，求出点T的坐标．若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（2，1）；（2）y=-x2+x+2．（，）；（3）T1（-，0）；T2（，0）、T3（4，0）、T4（，0）．

【解析】

试题分析：（1）关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数；

（2）设经过P、M、N三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）．把点P、M、N三点的坐标分别代入函数解析式，联立方程组并解答；

（3）分三种情况进行解答：①当OT=OM时，以点O为圆心，以OM为半径画圆，交x轴于两点：T1、T2；

②当OM=MT时，以点M为圆心，以OM为半径画圆，交x轴于两点：O（不合题意）、T3；

③当OM为等腰三角形的底边时，作OM的垂直平分线，交x轴于一点：T4．

结合点的坐标与图形的性质以及函数图象上点的坐标特征进行解答．

试题解析：（1）点P（-2，-1）关于原点的对称点M的坐标为（2，1）；

（2）设经过P、M、N三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）．把P（-2，-1）、M（2，1）、N（0，2）代入，得

，

解得，

∴经过P、M、N三点的抛物线的解析式为y=-x2+x+2．

又∵y=-x2+x+2=-（x-）2+，

∴抛物线的顶点坐标为：（，）；

（3）∵M（2，1），

∴OM=，

①当OT=OM时，以点O为圆心，以OM为半径画圆，交x轴于两点：T1、T2

∴OT1=OT2=OM=，

∴T1（-，0）；T2（，0）；

②当OM=MT时，以点M为圆心，以OM为半径画圆，交x轴于两点：O（不合题意）、T3

∵M（2，1），且OM=MT3，

∴OT3=4，

∴T3（4，0）；

③当OM为等腰三角形的底边时，作OM的垂直平分线，交x轴于一点：T4，

设OT4的长为a，

∵M（2，1），

∴AT4=2-a，MA=1，

∴在Rt△MAT4中，MT42=（2-a）2+12，

∴（2-a）2+12=a2，

解得：a=，

∴T4（，0）．

总之，符合条件的T点存在，共有四个：T1（-，0）；T2（，0）、T3（4，0）、T4（，0）．

考点：二次函数综合题．