Question

已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，CE平分∠ACB交AB于点E。

（1）∠B=             度．

（2）如图9，若点D在斜边BC上，DM垂直平分BE，垂足为M。求证：BD=AE；

（3）如图10，过点B作BF⊥CE，交CE的延长线与点F。若CE=6，求△BEC的面积。

    

Answer

（1）45°，（2）证明见解析；（3）4．

【解析】

【试题分析：（1）连接DE，由∠BAC=90°，AB=AC，可得∠B=45°，

（2）由DM垂直平分BE，可得BD=DE，进而判断△BDE是等腰直角三角形，所以ED⊥BD，然后由角平分线的性质可得ED=AE，根据等量代换可得BD=AE；

（3）延长BF，CA，交与点G，由CE平分∠ACB，可得∠ACE=∠BCE，由BF⊥CE，可得∠BFC=∠GFC=90°，然后由三角形内角和定理可得：∠GBC=∠G，进而可得BC=GC，然后由等腰三角形的三线合一，可得BF=FG=BG，所以BG=2BF=2FG=4，然后再由ASA，可证△ACE≌△ABG，可得EC=BG=4，最后根据三角形的面积公式即可求△BEC的面积．

试题解析：（1）连接ED，如图1，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

（2）∵DM垂直平分BE，

∴BD=DE，

∴∠BED=∠EBD=45°，

∴∠EDC=∠EBD+∠BED=90°，

∵CE平分∠ACB，∠BAC=90°，∠EDC=90°，

∴ED=EA，

∴BD=AE；

（3）延长BF，CA，交与点G，如图2所示，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE=∠BCE，

∵BF⊥CE，

∴∠BFC=∠GFC=90°，

∴∠GBC=∠G，

∴BC=GC，

∴BF=FG=BG，

即BG=2BF=4，

∵∠GFC=∠GAB=90°，

∴∠ACF+∠BGC=90°，∠ABG+∠BGC=90°，

∴∠ACF=∠ABG，

在△ACE和△ABG中，

，

∴△ACE≌△ABG（SAS），

∴BG=CE，

∴EC=2BF=4，

∴S△ECB=CE•BF=×4×2=4．

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．线段垂直平分线的性质；3．等腰直角三角形．