Question

点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发，它们的速度都是1cm/s。

（1）经过1秒时，连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，求证：，并求出∠CMQ的度数；

（2）经过几秒时，△PBQ是直角三角形？

Answer

（1）证明见解析；60°，（2）t=或．

【解析】

试题分析：易证△ABQ≌△CAP，可得∠AQB=∠CPA，即可求得∠AMP=∠B=60°，易证∠CQM≠60°，可得CQ≠CM，根据t的值易求BP，BQ的长，即可求得PQ的长，即可解题．

试题解析：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，

根据题意得：AP=BQ，

在△ABQ和△CAP中，

，

∴△ABQ≌△CAP（SAS），

∴∠AQB=∠CPA，

∵∠BAQ+∠APC+∠AMP=180°，∠BAQ+∠B+∠AQB=180°，

∴∠AMP=∠B=60°，

∴∠QMC=60°，

（2）当t=时，BQ=，BP=4-=，

∵PQ2=BP2+BQ2-2BP•BQcos60°，

∴PQ=，

∴△PBQ为直角三角形，

同理t=时，△PBQ为直角三角形仍然成立，

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的性质．