Question

已知抛物线 y=ax²+bx+3 （a≠0） 经过A（5，0）， B（6，1）两点，且与y轴交于点C．

（1）求抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标；

（2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，求出当△OEF的面积取得最小值时，点E的坐标．

Answer

（1）抛物线解析式为：y=x2-x+3；点C的坐标为（0，3）；（2）存在点P1（0，3），P2（-1，6）；（3）点E的坐标（，）．

【解析】

试题分析：（1）根据A（3，0），B（4，1）两点利用待定系数法求二次函数解析式，进而得出点C的坐标；

（2）根据点A、B、C的坐标可以求出∠BAC=90°，从而得到△ABC就是直角三角形，所以点C即为所求的一个点P的，再根据平行直线的解析式的k值相等求出过点B的直线PB，与抛物线联立求解即可得到另一个点P；

（3）根据点A、B、C的坐标可得∠OAE=∠OAF=45°，再根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠OEF=∠OFE=45°，∠EOF=90°然后根据等角对等边可得OE=OF，然后利用直线AC的解析式设出点E的坐标，再利用勾股定理表示出OE的平方，然后利用三角形的面积公式列式整理即可得到面积的表达式，再利用二次函数的最值问题解答即可．

试题解析：（1））∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，

∴，

解得：，

∴抛物线解析式为：y=x2-x+3；

令x=0，则y=3，

所以，点C的坐标为（0，3）；

（2）假设存在，分两种情况：如图1，

过点B作BH⊥x轴于点H，

∵A（3，0），C（0，3），B（4，1），

∴∠OCA=45°，∠BAH=45°，

∴∠BAC=180°-45°-45°=90°，

∴△ABC是直角三角形，

点C（0，3）符合条件，

所以，P1（0，3）；

②当∠ABP=90°时，过点B作BP∥AC交抛物线于点P，

∵A（3，0），C（0，3），

∴直线AC的解析式为y=-x+3，

设直线BP的解析式为y=-x+b，

则-4+b=1，

解得b=5，

∴直线BP：y=-x+5，

联立，

解得，，

又∵点B（4，1），

∴点P的坐标为（-1，6），

综上所述，存在点P1（0，3），P2（-1，6）；

（3）如图2，

∵A（3，0），C（0，3），B（4，1），

∴∠OAE=45°，∠OAF=∠BAH=45°，

又∵∠OFE=∠OAE，∠OEF=∠OAF，

∴∠OEF=∠OFE=45°，

∴OE=OF，∠EOF=180°-45°×2=90°，即△OEF是直角三角形；

∵点E在直线AC上：y=-x+3，

∴设点E（x，-x+3），

根据勾股定理，OE2=x2+（-x+3）2，

=2x2-6x+9，

所以，S△OEF=OE•OF=OE2=x2-3x+=（x-）2+，

所以，当x=时，S△OEF取最小值，

此时-x+3=-+3=，

所以，点E的坐标（，）．

考点：二次函数综合题．