Question

如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AC=13，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．

（1）求证：CB是∠ECA的角平分线；

（2）求DE的长；

（3）求证：BE是⊙O的切线．

Answer

（1）证明见解析；（2）．（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）根据BD=BA得出∠BDA=∠BAD，再由∠BCA=∠BDA即可得出结论；

（2）判断△BED∽△CBA，利用对应边成比例的性质可求出DE的长度．

（3）连接OB，OD，证明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，继而判断BE⊥OB，可得出结论．

试题解析：（1）∵BD=BA，

∴∠BDA=∠BAD，

∵∠BCA=∠BDA，

∴∠BCA=∠BAD．

∴CB是∠ECA的角平分线；

（2）∵∠BDE=∠CAB且∠BED=∠CBA=90°，

∴△BED∽△CBA，

∴，

由勾股定理易求AB=12．

即，

解得：DE=．

（3）连结OB，OD，

在△ABO和△DBO中，

，

∴△ABO≌△DBO（SSS），

∴∠DBO=∠ABO，

∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，

∴∠DBO=∠BDC，

∴OB∥ED，

∵BE⊥ED，

∴EB⊥BO，

∴BE是⊙O的切线．

考点：1．切线的判定；2．圆周角定理；3．相似三角形的判定与性质．