Question

如图1，直线l交x轴、y轴分别于A、B两点，A（a，0），B（0，b），且（a－b）²＋|b－4|=0．

（1）求A、B两点坐标；

（2）如图2，C为线段AB上一点，且C点的横坐标是3．求△AOC的面积；

（3）如图2，在（2）的条件下，以OC为直角边作等腰直角△POC，请求出P点坐标；

（4）如图3，在（2）的条件下，过B点作BD⊥OC，交OC、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且∠CEA=∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．

Answer

（1）A（4，0），B（0，4）．（2）2．（3）P（－1，3）．（4）OD=AE．理由见解析．

【解析】

试题分析：（1）由（a-b）2+|b-4|=0，利用非负数的性质得到a-b=0，b-4=0，解得a=4，b=4，得到A（4，0），B（0，4）；

（2）分别求出点C、A的坐标，利用三角形的面积公式即可得解；

（3）如图过点P作PE⊥x轴得到等腰直角三角形，根据其性质得到P点的坐标；

（3）过点A作AF⊥x轴，交OC的延长线于F，证明△BOD与△OAF，△ACE与△ACF全等，得到AE=AF，OD=AF，由等量代换得到OD=AE．

试题解析：（1）由已知得：

，解得：

∴A（4，0），B（0，4）．

（2）过C作CD⊥x轴于D．

∵xC=3，A（4，0），B（0，4）

∴OD=3，OA=OB=4，

∴AD=OA－OD=1

∠BAO=45°

∴CD=AD=1

∴．

即△AOC的面积为2．

（3）过P作PE⊥x轴于E，

则∠PEO=∠CDO=90°，

∴∠EPO＋∠EOP=90°．

∵△POC是等腰直角三角形，

∴OP=OC，∠POC=90°．

∴∠EOP＋∠COD=90°．

∴∠EPO=∠COD．

在△EPO和△DOC中，

∴△EPO≌△DOC（AAS）

∴OE=CD=1，PE=OD=3，

∴P（－1，3）．

（4）OD=AE．理由如下：

过A作AG⊥x轴于A，交OC延长线于G．

∴∠GAO=90°．

∵OB⊥OA，BD⊥OC，

∴∠BOD=∠BFO=90°，

∴∠OBD＋∠BOF=∠AOF＋∠BOF=90°．

∴∠OBD=∠AOF．

在△BOD和△OAG中，

∴△BOD≌△OAG（ASA）

∴∠BDO=∠G，OD=AG

∵∠CEA=∠BDO

∴∠CEA=∠G

∵∠BAO=45°，∠GAO=90°

∴∠BAO=∠CAG=45°．

在△CEA和△CGA中，

∴△CEA≌ △CGA（AAS）

∴AE=AG

∴OD=AE．

考点：一次函数综合题．