Question

如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为一边在第一象限内作正方形OABC，点D是x轴正半轴上一动点（OD>1，且OD≠2），连接BD，以BD为边在第一象限内作正方形DBFE，设M为正方形DBFE的中心，直线MA交y轴于点N．如果定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形．

（1）试找出图1中的一个损矩形                ；

（2）试说明（1）中找出的损矩形一定有外接圆；

（3）随着点D的位置变化，点N的位置是否会发生变化？若没有发生变化，求出点N的坐标；若发生变化，请说明理由．

（4）在图2中，过点M作MG⊥y轴，垂足是点G，连结DN，若四边形DMGN为损矩形，求点D的坐标．

Answer

（1）四边形ADMB；（2）证明见解析；（3）N（0，－1）；（4）D（3，0）．

【解析】

试题分析：（1）根据题意得出损矩形；（2）取BD中点H，连接MH，AH，根据四边形OABC和四边形BDEF为正方形得出△ABD和△BDM为直角三角形，从而得出HA=HB=HM=HD=BD，说明损矩形ABMD一定有外接圆；（3）根据外接圆的性质得出∠MAD=∠MBD，根据四边形BDEF是正方形得出OA和ON的长度，从而得出点N的坐标；（4）延长AB交MG于点P，过点M作MQ⊥x轴于点Q，设点MG=x，根据△MBP和△MDQ全等得出关于x的一元二次方程，从而求出点D的坐标．

试题解析：（1）四边形ADMB就是一个损矩形．

（2）取BD中点H，连接MH，AH． ∵四边形OABC，BDEF是正方形， ∴△ABD，△BDM都是直角三角形，

∴HA=BD，HM=BD ∴HA=HB=HM=HD=BD ∴损矩形ABMD一定有外接圆．

（3）∵损矩形ABMD一定有外接圆⊙H ∴∠MAD=∠MBD ∵四边形BDEF是正方形

∴MBD=45° ∴MAD=45° ∴OAN=45° ∵OA=1 ∴ON=1 ∴N点的坐标为（0，﹣1）．

（4）延长AB交MG于点P，过点M作MQ⊥x轴于点Q 设点MG=x，则四边形APMQ为正方形

∴PM=AQ=x﹣1 ∴OG=MQ=x﹣1 ∵△MBP≌△MDQ ∴DQ=BP=CG=x﹣2 ∴MN2=2x2

ND2=（2x﹣2）2+12 MD2=（x﹣1）2+（x﹣2）2

∵四边形DMGN为损矩形 ∴2x2=（2x﹣2）2+12+（x﹣1）2+（x﹣2）2 ∴2x2﹣7x+5=0

∴x=2．5或x=1（舍去） ∴OD=3 ∴D点坐标为（3，0）．

考点：三角形全等、新定义型、圆的性质