Question

某地因持续高温干旱，村民饮水困难，镇政府组织村民组成水源行动小组到村镇周边找水。某村民在山洞里发现了暗河（如图所示），经勘察，在山洞的西面有一条南北走向的公路连接着两村庄，山洞位于村庄南偏东方向，且位于村庄南偏东方向。为方便两村庄的村民取水，准备从山洞处向公路紧急修建一条最近的简易公路，现已知两村庄相距6千米。

（1）求这条最近的简易公路的长（精确到0．1千米）？

（2）现由甲、乙两施工队共同合作修建这条公路，已知甲施工队修建2千米后，由乙施工队继续修建，乙施工队每天施工的速度是甲施工队每天施工速度的1．6倍，8天后，公路正式通车。求甲、乙两施工队每天修建公路多少千米？

（参考数据：，）

Answer

（1）5．2千米；（2）甲0．5千米，乙0．8千米．

【解析】

试题分析：（1）过点C作CD⊥AB，CD就是所求的最短公路，首先根据题意得出BC=AB=6，然后根据Rt△BCD中∠CBD的正弦值得出CD的长度；（2）首先设甲施工队每天修建公路x千米，则乙施工队每天修建公路1．6x千米，然后根据题意列出分式方程，得出x的值．

试题解析：（1）由题意得：∠A=30°，∠CBD=60°，AB=6千米

过点C作CD⊥AB于点D，则CD就是所求的最短公路

∴∠CDB=90° ∵∠A=30° ∠CBD=60° ∴∠ACB=30° ∴BC=AB=6千米

∵在Rt△BDC中，BC=6 ∠CBD=60° ∴sin60°= ∴CD=3≈5．2（千米）

答：最近的简易公路的长约为5．2千米。

（2）设甲施工队每天修建公路x千米，则乙施工队每天修建公路1．6x千米．

由题意得

解得：x=0．5

经检验：x=0．5是方程的解且符合题意

∴1．6x=0．8

答：甲施工队每天修建公路0．5千米，则乙施工队每天修建公路0．8千米．

考点：分式方程、三角函数．