Question

在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．

（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；

（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；

①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．

②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）①真命题，证明见解析，②、t=a或t=a．

【解析】

试题分析：（1）根据∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，从而得出∠ADF=∠DCN，从而说明△ADF和△DNC全等，从而得出结论；（2）①、当点F为AB的中点时，则AF=AB=CD，根据AB∥CD得出△AEF和△CDE相似，则，则AE=EC，即AE=AC=a，则t=a，所以CM=CD，从而得到三等分点；②、根据题意得出△AFE和△CDE相似，从而得到AF=，根据△MND和△DFA相似得出ND=CM=t，AN=DM=a－t，然后分FN=MN、FN=FM、FM=MN三种情况分别求出答案．

试题解析：（1）∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°， ∴∠ADF=∠DCN．

在△ADF与△DNC中，，∴△ADF≌△DNC（ASA），∴DF=MN．

（2）①该命题是真命题．

理由如下：当点F是边AB中点时，则AF=AB=CD．∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE， ∴，

∴AE=EC，则AE=AC=a， ∴t==a．则CM=1•t=a=CD， ∴点M为边CD的三等分点．

②能．理由如下：

易证△AFE∽△CDE，∴，即，得AF=．

易证△MND∽△DFA，∴，即，得ND=t． ∴ND=CM=t，AN=DM=a﹣t．

若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形：

（I）若FN=MN，则由AN=DM知△FAN≌△NDM， ∴AF=DM，即=t，得t=0，不合题意．

∴此种情形不存在；

（II）若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC， ∴t=a，此时点F与点B重合；

（III）若FM=MN，显然此时点F在BC边上，如下图所示：

易得△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a﹣t；

又由△NDM∽△DCF，∴，即，∴FC=． ∴=a﹣t，

∴t=a，此时点F与点C重合．

综上所述，当t=a或t=a时，△MNF能够成为等腰三角形．

考点：动点问题、三角形相似、分类讨论思想．