Question

如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G．

（1）求证：△APB≌△APD；

（2）已知DF：FA=1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．

①求y与x的函数关系式；

②当x=6时，求线段FG的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）①、y=x，②、FG=5。

【解析】

试题分析：（1）根据菱形的性质得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，结合AP为公共边得出三角形全等；（2）①、根据三角形全等得出DP=BP，∠ADP=∠ABP，从而说明△DFP和△BEP全等，根据全等得出PE=PF，DF=BE，根据GD∥AB得出，根据DF：FA=1:2得出=，=，=即=，得出y与x的函数关系式；②、根据x的值以及函数解析式得出y的值，从而求出FG的长度．

试题解析：（1）证明：∵点P是菱形ABCD对角线AC上的一点， ∴∠DAP=∠PAB，AD=AB，

∵在△APB和△APD中， ∴△APB≌△APD（SAS）；

（2）【解析】
①∵△APB≌△APD， ∴DP=PB，∠ADP=∠ABP， ∵在△DFP和△BEP中，，

∴△DFP≌△BEP（ASA）， ∴PF=PE，DF=BE， ∵GD∥AB， ∴=， ∵DF：FA=1：2，

∴=，=， ∴=， ∵=，即=， ∴y=x；

②当x=6时，y=×6=4， ∴PF=PE=4，DP=PB=6， ∵==， ∴=， 解得：FG=5，

故线段FG的长为5．

考点：三角形全等、三角形相似．