Question

如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2，0），∠AOB=60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为y=，在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O′B′．设P（t，0）当O′B′与双曲线有交点时，t的取值范围是         ．

Answer

4≤t≤2或－2≤t≤－4

【解析】

试题分析：∵∠AOB=60°，∠P′MO=90°， ∴∠MP′O=30°， ∴OM=t，OO′=t，

过O′作O′N⊥X轴于N，∠OO′N=30°， ∴ON=t，NO′=t， ∴O′（t，t），

根据对称性可知点P在直线O′B′上， 设直线O′B′的解析式是y=kx+b，代入得，

解得：， ∴y=﹣x+t①，

∵∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=2， ∴OA=4，AB=2， ∴A（2，2），

代入反比例函数的解析式得：k=4， ∴y=②，

①②联立得：﹣tx+4=0， 即﹣tx+4=0③， ﹣4ac=﹣4×1×4≥0，

解得：t≥4，t≤﹣4．

又O′B′=2，根据对称性得B′点横坐标是1+t， 当点B′为直线与双曲线的交点时，

由③得，﹣+4=0， 代入，得：﹣+4=0， 解得t=±2，

而当线段O′B′与双曲线有交点时， t≤2或t≥﹣2，

综上所述，t的取值范围是4≤t≤2或﹣2≤t≤﹣4．

考点：反比例函数的性质