Question

已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．

（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证；

（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；

（3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写出的值．

Answer

（1）证明见解析；（2）∠B+∠EGC=180°，证明见解析；（3）

【解析】

试题分析：（1）根据矩形得出∠A=∠ADC=90°，根据DE⊥CF得出∠ADE=∠DCF，从而得出三角形相似；（2）在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF=∠CFM，根据AB∥CD得出∠A=∠CDM，根据∠B+∠EGC=180°得出∠AED=∠FCB，从而说明∠CMF=∠AED，从而得到三角形相似；（3）根据三角形相似得出比值．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，

∵DE⊥CF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE∽△DCF，∴．

（2）当∠B+∠EGC＝180°时，成立，证明如下：

在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM． ∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM，

∵∠B+∠EGC＝180°， ∴∠AED＝∠FCB，∴∠CMF＝∠AED． ∴△ADE∽△DCM，

∴，即．

（3）．

考点：三角形相似的证明与性质