Question

画图、证明：如图，∠AOB=90°，点C、D分别在OA、OB上．

（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：

作∠AOB的平分线OP；作线段CD的垂直平分线EF，分别与CD、OP相交于E、F；连接OE、CF、DF．

（2）在所画图中，线段OE与CD之间有怎样的数量关系，线段DF与CF之间有怎样的数量关系，并说明理由．

Answer

（1）见解析图（2）CD=DF

【解析】

试题分析：（1）以点O为圆心，以任意长为半径画弧分别与OA、OB相交，再分别以这两点为圆心，以大于它们长度为半径画弧，两弧相交于一点，过这一点作射线OP即可；分别以C、D为圆心，以大于CD长为半径画弧，在CD的两边画弧相交于两点，过这两点作直线EF即可；

（2）过点F作FM⊥OA于M，FN⊥OB于N，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CF=DF，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得FM=FN，然后利用“HL”证明△CFM和△DFN全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CFM=∠DFN，再求出∠CFD=90°，根据等腰直角三角形的判定证明即可．

试题解析：（1）∠AOB的平分线OP；线段CD的垂直平分线EF如图所示；

（2）如图，过点F作FM⊥OA于M，FN⊥OB于N，

∵EF垂直平分CD，

∴CF=DF，

∵OP是∠AOB的平分线，

∴FM=FN，

在△CFM和△DFN中，

，

∴△CFM≌△DFN（HL），

∴∠CFM=∠DFN，

又∵∠AOB=90°，FM⊥OA，FN⊥OB，

∴∠CFD=∠MFN=360°-3×90°=90°，

∴△CDF为等腰直角三角形．

考点：1．段垂直平分线,2．等腰直角三角形的判定,3．全等三角形判定与性质