Question

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC．（1）若AC=BC，∠B：∠C=2：1，

（1）写出图中的所有等腰三角形，并给予证明．

（2）若AB+BD=AC，求∠B：∠C的比值．

Answer

（1）证明见解析；（2）2:1．

【解析】

试题分析：（1）利用AC=BC可直接得出△ABC是等腰三角形，再利用三角形内角和定理求出∠B=∠ADB，∠DAC=∠C，即可得出△ABD和△ADC是等腰三角形．

（2）在AC上截取AE=AB，连接DE，求证△ABD≌△ADE，然后得到∠B=∠AED=∠EDC+∠C=2∠C即可得出答案．

试题解析：（1）等腰三角形有3个：△ABC，△ABD，△ADC，

证明：∵AC=BC

∴△ABC是等腰三角形

∴∠B=∠BAC

∵∠B：∠C=2：1

∠B+∠BAC+∠C=180°

∴∠B=∠BAC=72°，∠C=36°

∵∠BAD=∠DAC=∠BAC=36°

∴∠B=∠ADB=72°，

∴△ABD和△ADC是等腰三角形

（2）在AC上截取AE=AB，连接DE

又∠BAD=∠DAE，AD=AD

∴△ABD≌△ADE

∴∠AED=∠B，BD=DE

∵AB+BD=AC

∴BD=EC∴DE=EC

∴∠EDC=∠C

∴∠B=∠AED=∠EDC+∠C=2∠C

即∠B：∠C=2：1

考点：1．等腰三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质．