Question

（10分）如图，一次函数y＝－x＋4的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合．

（1）写出点A的坐标        ；

（2）当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得△OQB与△APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）若点M在直线l上，且∠POM＝90°，记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是、，求的值．

Answer

（1）（4，0）；（2）存在，点P的坐标为（4，4﹣4）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）在y=-x+4中，令y=0，可求得x的值，从而得到点A的坐标；

（2）先画出图形，在Rt△AOB中，由勾股定理求得AB的长，再由全等三角形的性质求得QA的长，从而得到BQ的长，根据PA=BQ，求得PA的长，继而可得点P的坐标；

（3）先画出图形，令PA=a，MA=b，△OAP外接圆的圆心为O1，△OAM的外接圆的圆心为O2，由勾股定理可得OP2=OA2+PA2=42+a2=16+a2，OM2=OA2+MA2=42+b2=16+b2，在Rt△POM中，PM2=OP2+OM2=a2+16+b2+16，PM2=（PA+AM）2=（a+b）2=a2+2ab+b2，所以ab=16，，再由勾股定理可求表示出两圆半径的平方，然后利用圆的面积公式求得两圆的面积，最后代入所求代数式求解即可．

试题解析：解（1）令y=0，得：﹣x+4=0，解得x=4，

所以点A的坐标为（4，0）；

（2）存在．

理由：如图所示：

∵∠OBA=∠BAP，∴它们是对应角，

∴BQ=PA，

将x=0代入y=﹣x+4得：y=4，

∴OB=4，

由（1）可知OA=4，

在Rt△BOA中，由勾股定理得：AB==4．

∵△BOQ≌△AQP．

∴QA=OB=4，BQ=PA．

∵BQ=AB﹣AQ=4﹣4，

∴PA=4﹣4．

∴点P的坐标为（4，4﹣4）．

如图所示：

令PA=a，MA=b，△OAP外接圆的圆心为O1，△OAM的外接圆的圆心为O2，

∴OP2=OA2+PA2=42+a2=16+a2，OM2=OA2+MA2=42+b2=16+b2，

在Rt△POM中，PM2=OP2+OM2=a2+16+b2+16，

又∵PM2=（PA+AM）2=（a+b）2=a2+2ab+b2，

∴ab=16，

∵O1A2=O1Q2+QA2=（）2+（）2=a2+4，O2A2=O2N2+NA2=（）2+（）2=b2+4，

∴S1=π×O1A2=（a2+4）π，S2=π×O2A2=（b2+4）π，

∴===×=

考点：圆的综合题．