Question

（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2．E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交x轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F．

（1）求OA、OC的长；

（2）求证：DF为⊙O′的切线；

（3）由已知可得，△AOE是等腰三角形．那么直线BC上存不存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形？如果不存在，说明理由；如果存在，直接写出P点的坐标．

Answer

（1）OC=3，OA=5；（2）详见解析；（3）符合条件的坐标为（1，3）或（9，3）或（4，3）或（﹣4，3）．

【解析】

试题分析：（1）在矩形OABC中，利用边长之间的关系和面积公式即可求得OC，OA的长；

（2）连接O′D，通过证明△OCE≌△ABE得到DF⊥O′D，所以DF为⊙O′切线；

（3）分两种情况进行分析：①当AO=AP；②当OA=OP，从而得到在直线BC上，除了E点外，既存在⊙O′内的点P，又存在⊙O′外的点P2、P3、P4，它们分别使△AOP为等腰三角形．

试题解析：（1）【解析】
在矩形OABC中，设OC=x，则OA=x+2，

∴x（x+2）=15，

∴x1=3，x2=﹣5，

∴x2=﹣5（不合题意，舍去），

∴OC=3，OA=5；

（2）证明：如图1，连接O′D，

在矩形OABC中，OC=AB，∠OCB=∠ABC=90°，CE=BE=，

在△OCE和△ABE中，

，

∴△0CE≌△ABE（SAS），

∴EA=EO，

∴∠1=∠2；

∵在⊙O′中，O′O=O′D，

∴∠1=∠3，

∴∠3=∠2，

∴O′D∥AE；

∵DF⊥AE，

∴DF⊥O′D，

∵点D在⊙O′上，O′D为⊙O′的半径，

∴DF为⊙O′切线；

【解析】
存在．理由如下：

①当A0=AP时，以点A为圆心，以AO为半径画弧交BC于P1和P4两点

过P1点作P1H⊥OA于点H，P1H=0C=3；

∵APl=OA=5，

∴AH=4，

∴OH=l，

∴P1（1，3）

同理可得：P4（9，3）；

②当OA=OP时，

同上可求得P2（4，3），P3（-4，3）

综上，符合条件的坐标为（1，3）或（9，3）或（4，3）或（﹣4，3）．

考点：三角形、四边形与圆的综合题．