Question

（7分）如图，点P是菱形ABCD对角线BD上一点，连接CP并延长交AD于点E，交BA的延长线于点F．

（1）求证：∠DCP=∠DAP；

（2）若AB=2，DP∶PB＝1∶2，且PA⊥BF，求对角线BD的长．

Answer

（1）见解析（2）2 ．

【解析】

试题分析：（1）要证明∠DCP=∠DAP成立，只需要证明△DCP≌△DAP即可；（2）由AB∥CD可得△DCP∽△BFP，从而CD=BF，CP=PF，PD=PB，点A为BF的中点，又PA⊥BF，所以PB=PF，PA=CP=PD，所以PA=PD=PB，

在Rt△PAB中，利用勾股定理可得PA的长，然后可求出BD的长．

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ADB=∠CDB， AD=DC

在△DCP和△DAP中，，

∴△DCP≌△DAP

∴∠DCP=∠DAP ．

（2）解：∵ 四边形ABCD是菱形，

∴CD=AB=2，AB∥CD，

∴∠CDP=∠FBP，∠BFP=∠DCP，

∴△DCP∽△BFP，

∴，

∴CD=BF，CP=PF，PD=PB， ∴AB=BF，

∴点A为BF的中点，

又∵PA⊥BF，

∴PB=PF， ∴CP=PD，

由（1）可知，PA=CP，

∴PA=PD=PB，

在Rt△PAB中，，

设PA=x，则PB=2x，BD=3x，

∴ ， 解得，x=

∴ BD=3x=2

考点：1．菱形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．相似三角形的判定与性质；4．勾股定理．