Question

(2014浙江宁波)如下图，点A，B分别在x轴、y轴上，点D在第一象限内，DC⊥x轴于点C，AO＝CD＝2，，反比例函数(k＞0)的图象过CD的中点E．

(1)求证：△AOB≌△DCA．

(2)求k的值．

(3)△BFG和△DCA关于某点成中心对称，其中点F在y轴上，试判断点G是否在反比例函数的图象上？并说明理由．

Answer

见解析

【解析】

(1)证明：∵点A，B分别在x轴、y轴上，点D在第一象限内DC⊥x轴，

∴∠AOB＝∠DCA＝90°．

在Rt△AOB和Rt△DCA中，

∵

∴Rt△AOB≌Rt△DCA．

(2)【解析】
在Rt△ACD中，∵CD＝2，，

∴，

∵OA＝2，

∴OC＝OA＋AC＝2＋1＝3．

∴D点坐标为(3，2)．

∵点E为CD的中点，

∴点E的坐标为(3，1)，

∵点E在反比例函数的图象上，

∴k＝3×1＝3．

(3)【解析】
点G在反比例函数的图象上．理由如下：

∵△BFG和△DCA关于某点成中心对称，

∴△BFG≌△DCA，

∴∠BFG＝∠DCA＝90°，FG＝CA＝1，BF＝DC＝2，

由(1)、(2)知OB＝CA＝1，

∴OF＝OB＋BF＝1＋2＝3．

∴点G的坐标为(1，3)，

∵1×3＝3．

∴点G(1，3)在反比例函数的图象上．