Question

已知：如图，平行四边形 ABCD的两条对角线相交于点O， E是BO的中点．过B点作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连接BF．

（1）求证：FB=AO；

（2）当平行四边形 ABCD满足什么条件时，四边形AFBO是菱形？说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）当平行四边形ABCD是矩形时，四边形AFBO是菱形．理由见解析．

【解析】

试题分析：（1）如图，取BC的中点G．由三角形中位线定理易证EG=BF=OC；则由“有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”证得四边形AOBF为平行四边形．所以平行四边形的对边相等：FB=AO；

（2）若四边形AFBO是菱形，则OB=OA．故当平行四边形ABCD的对角线相等，即平行四边形ABCD是矩形时，四边形AFBO是菱形．

试题解析：（1）如图，取BC的中点G，连接EG．

∵E是BO的中点，

∴EG是△BFC的中位线，

∴EG=BF．

同理，EG=OC，

∴BF=OC．

又∵点O是▱ABCD的对角线交点，

∴AO=CO，

∴BF=AO．

又∵BF∥AC，即BF∥AO，

∴四边形AOBF为平行四边形，

∴FB=AO；

（2）当平行四边形ABCD是矩形时，四边形AFBO是菱形．理由如下：

∵平行四边形ABCD是矩形，

∴OA=OB，

∴平行四边形AFBO是菱形．

考点：1．平行四边形的判定与性质；2．菱形的判定．