Question

如图，抛物线y=-x²+（m+2）x-3（m-1）交x轴于A、B，交y轴于C．直线y=（m+1）x-3经过点A．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点Q为线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于E，连CQ．当S_△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；

（3）直线y=kx（k＜0）交直线y=（m+1）x-3于P，交抛物线y=-x²+（m+2）x-3（m-1）于点M，过M作x轴的垂线，垂足为D，交直线y=（m+1）x-3于N．△PMN能否为等腰三角形？若能，求k的值；若不能，说明理由．

Answer

（1） y=-x2+2x+3;（2） Q（1，0）（3） k=-1或k=1-．

【解析】

试题分析：（1）利用二次函数与x轴的交点求函数的解析式，当y=0时就可以求出点A、B的坐标．再利用直线的解析式求出m的值从而求出二次函数的解析式．

（2）要求面积最大时Q点坐标，就应该想到建立有关的表示三角形面积的二次函数求最值，把△CEQ的面积表示出来就可，关键是利用三角形相似求出△BQE的高．

（3）根据等腰三角形的判定及性质分情况讨论所成的等腰三角形，首先可以利用直线y=x-3求出于y轴的交点．然后就可以根据情况求出k值．

试题解析：（1）由-x2+（m+2）x-3（m-1）=0，

得x1=m-1，x2=3．

∴A（3，0）B（m-1，0）．

∵直线y=（m+1）x-3过A点，

∴m=0，

∴函数解析式分别为：y=-x2+2x+3，y=x-3；

（2）把x=0代入y=-x2+2x+3，得y=3．

∴C（0，3）．

设Q（m，0），过点D作DE⊥x轴于D．

由（1）知：B（-1，0），A（3，0），

∴AB=4，BQ=m+1

∵EQ∥AC，∴△BQE∽△BAC，

∴，

即，

∴DE=

∴S△CPD=S△CAP-S△DAP

=

=

=

∴当m=1时，S△CPD有最大值，此时Q（1，0）

（3）设直线y=x-3交y轴于点C

∴C（0，-3），A（3，0）

∴OC=OA

∴∠OAC=∠NAD=45°

若△PMN为等腰三角形，且k＜0，则PN=PM．

当PN=PM时，则∠PNM=∠PMN=45°

∵∠ODM=90°

∴OD=DM，设M的坐标为（m，-m）

∴-m=km，k=-1

当PN=MN时，

∵MN∥OC

∴

∠ACO=∠PN

∴PC=OC=3

过点P作PH垂直y轴于H

∴PH=CP=,CH=PH=,OH=3-

∴P（，3-）

又点P在直线y=kx上

∴-3=k

k=1-

综上，k=-1或k=1-．

考点：二次函数综合题．