Question

红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表：

时间（天）	1	3	5	10	36	…
日销售量m（件）	94	90	86	76	24	…

未来40天内，前20天每天的价格（元/件）与时间（天）的函数关系式为（且为整数），后20天每天的价格（元/件）与时间（天）的函数关系式为（且为整数）．

（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与（天）之间的关系式；

（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？

（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间（天）的增大而增大，求的取值范围．

Answer

（1） 所求函数解析式为m=-2t+96；（2） 第14天时，销售利润最大，为578元；（3） 3≤a＜4．

【解析】

试题分析：（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式；

（2）日利润=日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论；

（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a的取值范围．

试题解析：（1）设一次函数为m=kt+b，将和代入一次函数m=kt+b中，

有，

∴．

∴m=-2t+96．

经检验，其它点的坐标均适合以上解析式，

故所求函数解析式为m=-2t+96；

（2）设前20天日销售利润为p1元，后20天日销售利润为p2元．

由p1=（-2t+96）（t+25-20）

=（-2t+96）（t+5）

=-t2+14t+480

=-（t-14）2+578，

∵1≤t≤20，

∴当t=14时，p1有最大值578（元）．

由p2=（-2t+96）（-t+40-20）

=（-2t+96）（-t+20）

=t2-88t+1920

=（t-44）2-16．

∵21≤t≤40，此函数对称轴是t=44，

∴函数p2在21≤t≤40上，在对称轴左侧，随t的增大而减小．

∴当t=21时，p2有最大值为（21-44）2-16=529-16=513（元）．

∵578＞513，故第14天时，销售利润最大，为578元；

（3）p1=（-2t+96）（t+25-20-a）=-t2+（14+2a）t+480-96a

对称轴为t=14+2a．

∵1≤t≤20，

∴当t≤2a+14时，P随t的增大而增大，

又∵每天扣除捐赠后的日利润随时间t的增大而增大，

∴20≤2a+14，

又∵a＜4，

∴3≤a＜4．

考点：二次函数的应用．